99 的 100 次方 vs 100 的 99 次方：誰比較大？
你有沒有想過，$99^{100}$（99 的 100 次方）和 $100^{99}$（100 的 99 次方）這兩個超級大的數字，到底哪個更大？這聽起來像是數學課上的腦筋急轉彎，但其實藏著很有趣的數學道理。雖然它們的底數和指數只差一點點，但結果可是天差地遠。今天，我們就來聊聊這兩個數字的大小之爭，用簡單的方式搞清楚誰才是真正的「大老闆」，順便看看指數運算的魅力有多大！ 指數運算：數字的超能力 先來搞懂什麼是指數運算。簡單說，就是一個數字自己乘自己好幾次。比如 $3^4$（3 的 4 次方），就是 $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$。這個運算的厲害之處在於，數字越大、乘的次數越多，結果就成長得越誇張。像 $99^{100}$ 和 $100^{99}$ 這種數字，光想像就知道它們大到不行，直接算出來得用一堆位數，連計算機都可能頭痛。 有趣的是，99 和 100 看起來差不多，指數 100 和 99 也只差 1，但這一點點差異會不會讓結果完全不同？這就是這場比較的看點。指數運算就像給數字裝上火箭引擎，小小的變化就能飛出大大的差距，我們得用點聰明方法來比一比。 比大小的聰明招：對數來幫忙 要把 $99^{100}$ 和 $100^{99}$ 直接算出來再比大小，實在太麻煩了，數字多到寫不完。但數學裡有個好幫手——對數（logarithms），能把這種超大數字的比較變簡單。對數的魔法在於，它能把指數運算變成乘法，讓我們輕鬆看出誰大誰小。 我們可以用自然對數（$\ln$）來拆解這兩個數字： $99^{100} = e^{100 \times \ln 99}$ $100^{99} = e^{99 \times \ln 100}$ 這裡的 $e$ 是個數學常數，大約是 2.718。因為 $e^x$ 是單調遞增的函數，$x$ 越大，$e^x$ 就越大。所以，我們只要比一比 $100 \times \ln 99$ 和 $99 \times \ln 100$ 的大小，就能知道 $99^{100}$ 和 $100^{99}$ 誰比較大。這招就像把火箭拆開來看引擎，簡單多了！ ...